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什么是数轴(数轴三要素是什么)

未知

   

    数轴的起源


    数轴最早来源于法国著名数学大师笛卡尔提出的平面直角坐标系(也就是互相垂直相交的两条数轴)。

    相传,有一次笛卡尔生病卧床,仍然在反复思考一个问题:能不能用直观的几何图形来表示抽象方程?几何图形是由点、线、面组合而成,方程通常是由数和代数组成,如何使几何里的点与方程里的数产生联系,是这里的关键。在深思中,他突然看见屋顶角上有一只正来来回回拉着丝织网的蜘蛛。蜘蛛的“表演”,使笛卡尔灵机一动,他把蜘蛛假想为一个点,那么,是否可以用一组数来表示蜘蛛在蛛网上的位置呢?

    此时,他观察到屋子的墙角,每一个墙角都是由三条射线相交而成,而墙角就可以作为这三条射线的起点,因此,可以用这三条射线定义三个方向(上、右、前),那么屋子中任意一点的位置就都可以用这三个方向的交点来表示了,然后再过这个交点分别对三个方向的直线作垂线,分别交于三个方向于一点,此时,是不是可以用这三个点来表示这个位置呢?而直线上的点又可以用数来表示,因此,可以用三个数的组合来表示屋中任一点的位置,反过来,任意给三个数,例如3、2、1,也可以用来表示三个方向轴上的点。于是在蜘蛛的启示下,笛卡尔创建了直角坐标系。

    数轴的三要素


    <1>原点:也就是数轴上“0”(零刻线)所对应的位置。通常情况下,原点选在数轴的中间位置。

    <2>单位长度:对所要表示的数先做估算,再选一段特定长度的距离作为标准表示一个

    单位,这个特定长度就是单位长度,单位长度就是可供参考的标准,它没有固定值,依

    设定而变动,不是实际的长度计量单位。

    <3>正方向:通常情况下,向上或向右为正方向,也就是数轴上箭头的方向。

    数轴要点


    (1)数轴的概念:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.数轴的三要素:原点,单位长度,正方向。

    (2)数轴上的点:所有的有理数都可以用数轴上的点表示,但数轴上的点不都表示有理数(一般取右方向为正方向,数轴上的点对应任意实数,包括无理数)。

    (3)用数轴比较大小:一般来说,当数轴方向朝右时,右边的数总比左边的数大。

    我们用自然数构建的数轴已经有了三个要素:原点,正方向,单位长度。

    但用自然数构建的数轴是不完整的,数轴上还有许多空隙未知,数轴的左边也不知道是什么。

    第一个问题被古埃及人率先解决,而第二个问题则是中国人所解决的。

    数轴的空隙


    我们知道在十进制下,1可以变大成10,10又可以变大成100,它们在数轴上的代表长度也随之变长。

    那么如果一个数变得更小,即数轴上的长度变短,会怎样呢?

    如果我们把0和1之间的单位长度切成十等分,把每一份叫做0.1,那么我们的数轴上就多了0.1到0.9这九个点。对数轴的每个单位长度都进行十等分,我们的数轴一下子密集了许多,得到的这些数叫小数。

    练习:在数轴上画出0.7和1.2的位置。

    探索:为什么要切成十等分,可以切成其他的吗?(不同进制的小数)

    再继续把0到0.1之间的长度切成十等分,我们就能得到0.01。

    不断循环,我们得到的长度就会越来越短,数轴上的点也会越来越多,直到填满整个数轴。

    古埃及人第一个意识到我们能够在0和1中间填进去更多的数,不过小数却是由中国人发明的。

    数轴的左侧

    我们现在填满了从0开始向右的数轴,那么0的左侧呢?

    我们假设有一个数A,它的后继是0:

    ​

    再继续假设一个B,它的后继是A,这样不断循环就得到了左半边的数轴:

    但重新发明一套符号来表示它们太麻烦了,我们发现左半边的数轴和右半边的数轴是对称的,所以只要在右半边的数前面加一个负号,就能表示左半边的数了,这些数叫做负数。

    两千年前的中国人就在《九章算术》上提出了负数的概念。

    相应地,右半边的数被叫做正数。

    而两个在0左右两边相互对称的正数和负数,叫做相反数。

    练习:写出3,-1.8,0的相反数,并在数轴上画出它们。

    特别的,0的相反数是0。

    绝对值

    3和-3是一对相反数,-1.8和1.8也是一对相反数,相反数之间有什么共同点?

    观察数轴,或者根据定义,我们可以发现,它们和0之间的长度是一样的,只不过一个在0的左边,另一个在右边。

    这个长度,被叫做绝对值。

    一个数A的绝对值被表示为​

    因为是长度,所以绝对值一定是正数或者0。

    练习:计算。

    正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是相反数,0的绝对值是0。

    探索:绝对值有什么用?(绝对值的几何意义,反射)

    绝对值的创造要比负数的出现晚了千年,德国的数学家魏尔斯特拉斯在1841年发明了绝对值,其年36岁,从此长度、距离被绝对值定义统一。

    数轴上数的大小比较

    我们已经知道,数轴上表示的数,右边的比左边的大,那么怎样比较数的大小?

    以0为原点,左边是负数,右边是正数,因此负数都小于0,正数都大于0,负数小于正数。

    正数和正数之间的大小关系我们也可以很容易判断,那么负数和负数怎么判断大小呢?

    练习:在数轴上画出1和4判断大小。再画出-1和-4判断大小。

    负数距离0越远,绝对值越大,反而越小。

    尾声

    我们得到了一条完整的数轴,所有的数和这样一条直线相对应了起来,非常的不可思议。

    但现在也只是得到了数而已,我们对于这些数有什么样的特点所知甚少,对于这一条无限个点组成的数轴,我们也不太了解。

    而且除了数之外,加减乘除又是些什么东西?

    探索:数轴真的表示了所有的数吗?(复数,向量,矩阵)

    探索:无穷大和无穷小应该是什么样的?(广义实数集,无穷小)

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