本书作者丘成桐，是当代第一位获得菲尔兹奖的华人数学家，标志性贡献是证明了卡拉比猜想，打开了卡拉比-丘流形的几何空间，并在此过程中发展了几何分析学方法，为数学和理论物理学的进步贡献了重要力量。卡拉比-丘流行及相关的几何分析学方法，是理论物理学中弦论的数学基础。这本书成书于2010年，所述内容是数学和理论物理的最前沿研究领域，以作者自身的研究历程为引线，对几何学的当代发展进行了生动而清晰的讲述，是一本不可多得的数学科普书籍，同时因为所涉及的数学发展，正是理论物理学中弦论的数学基础，因此有较大篇幅探讨了弦论，也是一本不可多得的理论物理科普书籍。

 

卡拉比-丘流形的一个截面

 

就数学而言，几何分析学方法是对数学问题，尤其是对拓扑学问题攻城拔寨的利器，不仅被发展用来证明了卡拉比猜想，并发现了卡拉比-丘空间，给拓扑学带来一个奇幻而美妙的新天地，而且运用相关的方法，解决了多个数学领域中的百年难题，比如证明庞加莱猜想等。

在理论物理体系中，20世纪以来建立的广义相对论和量子力学两大体系，不能协调，分别在宏观和微观统治着物理。从卡尔的认知，弦论是对广义相对论进行理论性的高维推广，是扩充广义相对论去统一量子力学的典范思路。因为广义相对论本身虽然发端于爱因斯坦的物理灵感，但本身是几何化的物理理论，只不过限定在四维时空，最终落脚于黎曼几何；而弦论仍然是在黎曼几何的基础上，进一步发展为10维时空，其中4维的宏观时空背景就是广义相对论，直接内含引力论，剩下的6维紧致空间，用于揭示微观世界，意图推导并代替粒子物理的标准模型和量子力学，统一其他三种自然力（电磁力，弱力，强力），从而在以笛卡尔乘积得到的10维时空中，实现将四种基本作用力统一到一个体系之下的大一统物理理论。

 

以下是本书的目录。

 

 

第1~5章，数学背景

 

在序曲中，作者从柏拉图的两个思想贡献讲起：

（1）任何企图描述大自然的可行理论中，对称性必须是它的核心性质。

（2）除了理解数学是测度宇宙的关键之外，柏拉图提出了今日所谓物理几何化的思考理路，就像爱因斯坦所促成的大飞跃一样：大自然的元素与其性质，还有作用其上的力，可能都可归源于某个潜藏于幕后的几何结构，它主导了一切。

在第1章中，作者描述了维度的概念和内涵，对数学家而言，维度指的是一种“自由度”，也就是在空间中运动的独立程度。

几何学家所关切的通常是物体精确的形状和曲率（几何学的重要任务之一，就是找出两点之间的距离），而拓扑学家只在乎整体形貌，就这层意义而言，拓扑学是一门整体性的学问。

其后，作者讲述了爱因斯坦广义相对论的四维时空理论（描述引力和三维空间的运动），及其后卡鲁扎的五维时空（增加一个维度，统一引力和电磁力，从数值方程角度，其实只需要将爱因斯坦场方程的度规张量矩阵，从4*4对称矩阵的10个独立参数，扩充到5*5矩阵，多出来的独立参数用于存放解析电磁力相关的方程），弦论主张总共需要十维（或十一维）的时空才能融合广义相对论和量子理论下的所有自然力。

在第2章中，作者讲述了空间和度规在几何中的内涵。

一旦加入称为“度规”的测量函数，以计算任意两点间的距离，那么你就突然有了一个可以在其间游移的空间，拥有明确定义的几何构造。换句话说，一旦空间有了度规，就具备让该空间成形的所有信息。

其后，作者回顾了几何学的历史发展脉络，从古希腊的毕达哥拉斯定理，到欧几里得几何；从笛卡尔的解析几何和牛顿/莱布尼茨的微积分，到高斯最终发展出微分几何学；黎曼在取消欧氏第五公设的思想上，引入度规张量，建立黎曼几何学。而广义相对论，正是在弯曲时空观念下，对黎曼几何和引力物理学进行完美结合的四维时空模型，引力即是几何。

在第3章，作者结合自己的求学和研究历程，讲述了几何分析的发展和威力。

大体而言，几何分析的目标是利用分析学（微积分的一种高等形式）的强大方法来理解几何现象，而且反过来，也可利用几何直觉来理解分析学。

微分方程中某些最有用也最困难的部分，称为“偏微分方程”，他们所描述的是涉及多个变数的变化。（这里作者提到当年上的一门非线性偏微分方程的课程，由于课程主题非常冷门，而且难懂，莫瑞教授这门课的课堂上，后来只有丘成桐一个学生，即使如此，莫瑞教授仍继续讲课，而且即使只剩一个学生，很显然他仍花了相当大的心力备课。——看到这一段卡尔颇为感慨，对丘成桐而言，真的是英雄识好货，对莫瑞教授而言，真的是酒香不怕巷子深，心底无私天地宽，只教一个也教出一个菲尔兹奖。虽然缠论并不冷门，但即使哪天有禅无缠投资课只有一名学员上课，卡尔也要像莫瑞教授学习和看齐。）

“曲率支配拓扑”是几何学家拥戴的基本信条，而达成此目的的工具则是微分方程。

“几何与（非线性）偏微分方程理论的混合，为过去20多年绝大部分的微分几何研究设定了基调。”

几何分析能帮助我们解决的重要问题之一，是牵涉到“最小曲面”的问题。

其后讲述了运用几何分析，证明理论物理学中的正质量猜想，证明关于黑洞旋转能转化的彭罗斯过程，以及几何分析学在数学领域的三大成就：四维拓扑问题，庞加莱猜想，以及卡拉比猜想。

第4章和第5章就主要讲解证明卡拉比猜想的策略，过程和运用的数学方法。这里介绍了很多基础概念和数学思想，同时，在寻求证明的过程中，所创造的方法，顺带解决了很多数学领域的其他难题。这是1977~1978年。

卡拉比猜想：第一陈氏类为零的紧致凯勒流形，必存在黎奇平坦的度规。

 

第6~7章 数学和物理的边界

 

这两章主要描述物理学家（主要是弦论学家）发现卡拉比-丘流形，用到弦论中，并在这期间发生物理学研究和数学研究之间的正反馈，不但促进了弦论的进步，同时带来数学的进步。

 

在卡拉比猜想中求解的微分方程（黎奇曲率为零的情况），基本上就是真空的爱因斯坦方程，对应到的是没有背景能量或宇宙常数为零的宇宙。因此，卡拉比-丘空间的流形，本质上都是爱因斯坦真空场方程的解，这不是以往发现的那种一个一个的解，而是包括整个卡拉比-丘空间的一族解。

1984年，弦论的第一次革命开始。

葛林和史瓦兹找到方法，构造符合宇称破坏的弦论，于是一直困扰物理学家的不相容量子效应，奇迹似地在十维时全部互相抵消了，这重新燃起了弦论真的可以描述大自然的希望。

1985年，史聪闵格和坎德拉斯，发现卡拉比-丘流形天然具备的紧致性和超对称性，刚好契合弦论内在空间的数学条件，威滕也从另一个思路得出类似的结论，卡拉比-丘流形，进入弦论体系的核心，成为弦论的DNA。

物理学家发现镜对称性质：有两个拓扑形态不同的卡拉比-丘流形，对应到相同的物理理论，这个性质的数学描述称为“镜猜想”（其后得以证明），数学家运用“镜猜想”，居然解决了希尔伯特1900年提出23个数学上的大问题中的第15个问题：建立舒伯特枚举计算的严格基础。

对镜对称的解释，又生发了SYZ猜想（镜对称就是T对偶性）和同调镜对称（D膜概念）两种理路，分别成为弦论后续理论发展中的基本性质和基本概念。

 

第8~12章 理论物理：弦论

 

第8章，介绍弦论在宏观时空上对黑洞熵进行解释的一个成果。

1996~1997年，史聪闵格和瓦法，运用弦论解释了霍金的黑洞信息丢失悖论，第一次可以从统计力学的观点推导出黑洞熵，并说明了黑洞的熵和其他宏观系统的熵一样。

2004年，他们将这个解释，推广到从卡拉比-丘空间，经由膜包覆闭链所能造出的任何黑洞。

更进一步的推广，AdS/CFT对应（反德西特空间/保角场论对应，目前还是猜想）：在某些情况下，一个引力理论（例如弦论）可以和一个标准的量子场论（更精确的说是保角场论）相互等价。这个对应将量子引力理论联系到完全没有引力的理论。

第9章和第10章，介绍弦论试图推导出粒子物理的标准模型，以回归现实世界。

粒子物理学的标准模型拥有大概20个无法由理论决定的待定参数，比如电子和夸克的质量等，但没有明确的数学意义，这是比较膈应人的，因此，弦论希望能够提供数学解释，而且除了弦的张力（或称线性能量密度）之外，剩下唯一待定的参数就只有空间的几何。

在整个推导粒子物理标准模型的发展过程中，描述了很多引人入胜的过程和进展，不过，由于引入通量场来保持模数稳定性，而导致卡拉比-丘空间的流形事实上会形变成非凯勒流形，从而回到一般性的史聪闵格系统，需要解决一组由四个微分方程组成的方程组（其中的任何一个微分方程，都相当于爱因斯坦场方程的难度），因此将非常难解。其中两个是处理规范场的厄米特-杨-米尔斯方程，第三个方程确保所处理的是超对称的几何，最后一个则用来消除反常，使得弦论得以保持相容性。从本书中的描述，基本上就是卡在这里了，通过研究卡拉比-丘流形和非凯勒流形，以及他们之间的关系，或许是解决这个方程组的思路之一。

第11章，是弦论给出的宇宙未来宿命的描述，真空衰变的两个剧本，最终都会发生6个紧致维度被释放出来，这多少有点科幻的味道，因为同时给出的发生时间，是几乎无穷久以后。不过值得玩味的一点是，这里所谈及的真空衰变后宏观时空将从四维逐渐或突变为十维的时空，跟刘慈欣《三体》小说中所体现的，宇宙的宏观空间逐渐进行降维至毁灭的思想，似乎是相反的，难道大刘不是按照弦论设定的多维宇宙宿命的科学背景？或者是理解上有偏差？

第12章，主要介绍可能验证弦论的物理学实验和天文学观测方向，截止本书的目前，还没有可以获得明确支撑那6维紧致空间的客观证据。

 

第13~14章 总结性反思

 

数学概念如果满足简洁，优美的标准，通常也能够应用于大自然，但是对于物理理论，不应该以数学或美感作为唯一标准，实验的证实是必须的条件，“你必须以理论是否提出实验可验证的预测来评判”。

而即使弦论作为物理理论失败了，也并不妨碍作为其基础内核的卡拉比-丘流形在数学理论中的意义，因为数学要求的是逻辑严格的证明，这些都是得到了证明的数学内容。

这是对数学理论和物理理论的不同评判标准。

但，如果要几何学能够提供符合大自然的真正意义，目前的几何学已经力有不逮，因此作者和数学界提出量子几何学的设想，要解决的问题，就是不但能够保留并涵盖传统几何学的成果，还要能够解决量子理论的疑难，即微观体现为符合量子理论的粒子性结构及相互作用，能够在宏观尺度体现出时空的平滑结果，用几何学的语言描述，就是要具有一种“光滑效应”，可将古典几何中看似奇异的部分给磨平。但那究竟是什么样的几何，还没有人知道。

不过，卡尔倒是有那么一点想法，秘密可能都藏在欧几里得的五条公设里面，因为一个系统发挥到极致，走到了无法解释的边缘，必然是把它的前提假设所涵盖的潜力都用尽了，如果现在的几何已经缺乏可以解决量子层面终极问题的潜力，那么，就到了再放松一下假设，释放一些潜力出来的时候了。黎曼去掉了第五公设后，创造出了黎曼几何，从而为广义相对论创造了数学上的基础，目前弦论进一步发挥这个黎曼几何的潜力，却终究难以突破量子层面的烦扰，那么前面的四条公设，是否有值得商榷的地方呢？哪一条公设是本可以不必要的呢？或者说，去掉或放松哪一条假设，可以创造出适用于量子理论的几何学呢？其实思想可以很简单（比如，把公设3修改一个字或许就可以），而实际做起来却需要大量的尝试和证明以及很远的路要走，有空再研究吧。