摘要：本节我们来介绍一下实反对称矩阵，我们平时常见的是实对称矩阵，那么对于反对称矩阵的性质还是了解的比较少的，那么本节岩宝就给大家总结一些实反对称矩阵的性质.

如果A是一个反对称矩阵，则对任意的列向量X有,当A是实反对称矩阵时，A的特征值为零或者纯虚数，且虚特征值成对存在；所以奇数级实反对称矩阵一定以0为特征值，即奇数级，实反对称矩阵行列式必然为0.

例1.实反对称矩阵的特征值为零或纯虚数.

证明：我们不妨设实对称矩阵A的特征值为,对应的特征向量为,使得

我们给上式两端同时乘,使得

因为,

所以,

因为A实反对称，所以有

我们对于两边同时取共轭转置，可得

 

从而有

 

将上面两式相加可得

从而,即实反对称矩阵A的特征值为零或纯虚数.

例2.设为实反对称矩阵，证明属于的的非零特征值的任意特征向量的实部向量与虚部向量相互正交且模长相等.

证明：设是关于特征值的特征向量，即

对比实部虚部系数可知

于是结合有

 

从而结合得,

例3.设

 

(1)求

(2)设 证明线性方程组有非零解的充要条件是.

证明：(1)

(2)我们知道方程组有非零解的充要条件是

即即是A的实特征值，而A是反对称矩阵，它的实特征值只能是0，所以有非零解的充要条件为是的特征值，当然这也等价于,即,整体来说就是：方程组有非零解的充要条件为

例4.为阶实方阵，切为正定阵，为实反对称阵，证明：的秩为偶数.

证明:由于正定，故存在可逆矩阵使得,故

 

从而可得

 

(岩宝小提示：这里利用了一个小结论：若A是实矩阵，则)

故结论成立.(为什么结论成立呢？因为实反对称矩阵的秩为偶数)

例5.设A为实反对称矩阵，则

(1)存在正交矩阵Q,使得

 

(2)可逆.

证明：(1)由A的特征值为0或纯虚数，且非零特征值成对出现，设为

 

而为实对称矩阵，且其特征值为

故结论成立，

(2)由于

 

故结论成立.

例6.(2012南京理工大学)设为阶正定矩阵，为阶实反对称矩阵，求证：为正定矩阵.

证明：首先有

即是实对称矩阵，

接下我们任取且,有

 

即结论成立.