我们知道矩阵的乘法一般不满足交换律,即一般不成立.若矩阵满足,则称可换.
可换矩阵的例子不少,比如数量矩阵与任何方阵可换,可逆矩阵与其逆可换等.容易验证 下面的例子就利用了这一点.
问题
(陕西师范大学,2002;重庆大学,2021)证明:(1)若为实反对称矩阵,则是正交矩阵;
(2)若为正交矩阵且可逆,则存在实反对称矩阵使得
分析
(1)只需证明即可,计算过程中可知需要考虑与的可换性.
(2)首先试试能否找到反对称矩阵由
即
于是
下面判断的反对称性.由于
所以,只需判断
也就是
这是显然的.
证
(1)由于于是
从而是正交矩阵.
(2)令
注意到
即
于是
且
即
于是
故结论成立.
类似的例子还有
问题
设是一个实反对称矩阵,证明:
(1)的非零特征值是纯虚数;
(2)若可逆,则可逆,且是正交矩阵.
分析
(1)略.
(2)先证明可逆.结合(1),应该考虑证明的特征值都不是0,显然考虑反证法即可.若是的属于特征值0的特征向量,则
于是等式两边左乘可得
此式表明是的特征值,注意到仍然是反对称矩阵,所以矛盾.
再证明是正交矩阵.由于
于是
计算
是否成立即可.
再来一个例子
问题
(华中师范大学,2012)设为数域上的阶可逆矩阵,为阶矩阵且使得均可逆,证明:
本例子不提供解答了.自己试试吧.
答案总是简单的,但是背后的辛苦你不经历过,你永远也不懂.
记住:自己做的才是自己的,别人做的永远是别人的.
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