缘奇科普-奇怪的知识又增加了

矩阵可交换性的应用几例

原创版权 未知作者:缘起 字体大小选择: [ ]

我们知道矩阵的乘法一般不满足交换律,即一般不成立.若矩阵满足,则称可换.

可换矩阵的例子不少,比如数量矩阵与任何方阵可换,可逆矩阵与其逆可换等.容易验证  下面的例子就利用了这一点.

问题

(陕西师范大学,2002;重庆大学,2021)证明:(1)若为实反对称矩阵,则是正交矩阵;

(2)若为正交矩阵且可逆,则存在实反对称矩阵使得

 

分析

(1)只需证明即可,计算过程中可知需要考虑的可换性.

(2)首先试试能否找到反对称矩阵

可得

 

于是

下面判断的反对称性.由于

 

所以,只需判断

 

也就是

 

这是显然的.

(1)由于于是

 

从而是正交矩阵.

(2)令

注意到

 

 

于是

 

于是

故结论成立.

类似的例子还有

问题

是一个实反对称矩阵,证明:

(1)的非零特征值是纯虚数;

(2)若可逆,则可逆,且是正交矩阵.

分析

(1)略.

(2)先证明可逆.结合(1),应该考虑证明的特征值都不是0,显然考虑反证法即可.若的属于特征值0的特征向量,则

于是等式两边左乘可得

此式表明的特征值,注意到仍然是反对称矩阵,所以矛盾.

再证明是正交矩阵.由于

 

于是

 

计算

 

是否成立即可.

再来一个例子

问题

(华中师范大学,2012)设为数域上的阶可逆矩阵,阶矩阵且使得均可逆,证明:

 
是矩阵方程的解.

 

本例子不提供解答了.自己试试吧.

答案总是简单的,但是背后的辛苦你不经历过,你永远也不懂.

记住:自己做的才是自己的,别人做的永远是别人的.

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