解分式方程的基本思想

在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程"转化"为整式方程，即分式方程。

解分式方程的方法及步骤

(1)去分母法

去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程。但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。

产生增根的原因：

当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解。

检验根的方法：将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。 为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必须舍去。

注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0。

用去分母法解分式方程的一般步骤：

(i)去分母，将分式方程转化为整式方程；

(ii)解所得的整式方程；

(iii)验根做答

(2)换元法

为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决。辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量解分式方程，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法。换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程。

用换元法解分式方程的一般步骤:

(i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数 式；

(ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；

(iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；

(iv)检验做答。

注意:

(i)换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。

(ii)分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。

(iii)无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。

例题：

(1)x/(x+1)=2x/(3x+3)+1

两边乘3(x+1)

3x=2x+(3x+3)

3x=5x+3

-2x=3

x=3/-2

经检验，x=-3/2是方程的解

(2)2/(x-1)=4/(x^2-1)

两边乘(x+1)(x-1)

2(x+1)=4

2x+2=4

2x=2

x=1

把x=1代入原方程，分母为0，所以x=1是增根。

所以原方程无解。

一定要检验!

分式方程的特殊解法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛解分式方程，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。