数轴是怎么定义的（数轴标根法详解）

原创版权 未知作者：缘起 字体大小选择： [大中小] 2021-08-05 ℃ 条

数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。数轴，为一种特定几何图形。直线是由无数个点组成的集合，实数包括正实数、零、负实数也有无数个。正因为它们的这个共性，所以用直线上无数个点来表示实数。这时就用一条规定了原点、正方向和单位长度的直线来表示实数。规定右边为正方向时，在这条直线上的两个数，右边上点表示的数总大于左边上点表示的数，正数大于零，零大于负数。

其中，原点、方向和单位长度称为数轴的三要素。

1、原点：

在数学上，数轴上原点为0点，坐标系统的原点是指坐标轴的交点。它和正方向、单位长度并称为数轴的三要素，三者缺一不可。在二维直角坐标系中，原点的坐标为(0,0)。而在三维直角坐标系中，原点的坐标为(0,0,0)。

原点在数轴、二维和三维坐标系中起到参考基准的作用，依据此点可以计算出其他点的坐标等。

2、正方向

正方向是人们规定的一个方向，与正方向相反的是负方向。在数轴中，它是三要素之一；在坐标系中，它也是不可或缺的一部分。引入“正方向”的概念的目的是更好地分析和表示问题。

3、单位长度

一个单位的长度。单位1是人们设定的一个参考标准，单位长度就是可供参考的标准，它没有固定值，依设定而变动，不是实际的长度计量单位。

从原点到数1的距离并非是某一特定的长度计量标准。

直线是由无数个点组成的集合，实数包括正实数、零、负实数也有无数个。正因为它们的这个共性，所以用直线上无数个点来表示实数。

这时就用一条规定了原点、正方向和单位长度的直线来表示实数。规定右边为正方向时，在这条直线上的两个数，右边上点表示的数总大于左边上点表示的数，正数大于零，零大于负数。

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1、数轴特点

一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

2、数轴上点与有理数关系

每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示;但数轴上的点不都表示有理数。

3、注意：不能出现相同长度表示的不等的量。数轴两端不能画点。

参考资料来源：百度百科-数轴

数轴的作用：

1、数轴能形象地表示数，横向数轴上的点和实数成一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示．垍頭條萊

2、比较实数大小，以0为中心，右边的数比左边的数大。萊垍頭條

3、虚数也可以用垂直于横向数轴且同一原点的纵向数轴表示，这样就与横向数轴构成了复数平面。萊垍頭條

4、用两根互相垂直且有同一原点的数轴可以构成平面直角坐标系；用三根互相垂直且有同一原点的数轴可以构成空间直角坐标系，以确定物体的位置。数轴具有数的完备性，不仅能够表示有理数和无理数（合称实数），还能够表示虚数，同时还可以建立坐标系，构成了一个比较严密的数的系统。

数轴标根法主要应用于高次不等式

（1）前提是保证X前系数为正

（2）从右向左，由上到下，上正下负，遇点即穿，奇穿偶不穿

第一步:通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。(注意:一定要保证x前的系数为正数)

例如:将x³-2x²-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0

第二步:将不等号换成等号解出所有根。

例如:(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为:x1=2，x2=1，x3=-1

第三步:在数轴上从左到右依次标出各根。

例如:-112

第四步:画穿根线:以数轴为标准，从"最右根"的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过"次右根"上去，一上一下依次穿过各根。

第五步:观察不等号，如果不等号为">"，则取数轴上方，穿根线以内的范围;如果不等号为"<"则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。

例如:

若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。

在数轴上标根得:-112

画穿根线:由右上方开始穿根。

因为不等号为">"则取数轴上方，穿根线以内的范围。即:-1<x<1或x>2。

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序轴标根法注意事项

运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误：

1．出现形如（a－x）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。

例1解不等式x（3－x）（x+1）（x－2）>0。

解x（3－x）（x+1）（x－2）>0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1可得原不等式的解集为{x|x<－1或0<x<2或x>3}。

事实上，只有将因式（a－x）变为（x－a）的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是：

解原不等式变形为x（x－3）（x+1）（x－2）<0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，原不等式的解集为{x|－1<x<0或2<x<3}。

2．出现重根时，机械地“穿针引线”

例2解不等式（x+1）（x－1）2（x－4）3<0

解将三个根－1、1、4标在数轴上，原不等式的解集为{x|x<－1或1<x<4}。

这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时，所画的浪线遇到“偶次”点（即偶数个相同根所对应的点）不能过数轴，仍在数轴的同侧折回，只有遇到“奇次”点（即奇数个相同根所对应的点）才能穿过数轴，正确的解法如下：

解将三个根－1、1、4标在数轴上，画出浪线图来穿过各根对应点，遇到x=1的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到x=4的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集

{x|－1<x<4且x≠1}

3．出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线”

例3解不等式x（x+1）（x－2）（x3－1）>0

解原不等式变形为x（x+1）（x－2）（x－1）（x2+x+1）>0，有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。

解原不等式等价于

x（x+1）（x－2）（x－1）（x2+x+1）>0，

∵x^2+x+1>0对一切x恒成立，

∴x（x－1）（x+1）（x－2）>0，由图4可得原不等式的解集为{x|x<－1或0<x<1或x>2}

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